A tiurìa di prubabilità. Prubabilità di un evenimentu, casu buchju (tiuria di prubabilità). sviluppi indipendente è accurdà à u tiurìa di prubabilità

Hè prubbàbbili ca assai genti pensa hè pussibili à conti fatti, chì à qualchi puntu è primaticcia. À mette in e parolle semplice, ci hè modu realistu di sapiri quali latu di u cube in i dadi Per buccali suivant tempu. Era sta quistione di a dumanda dui gran scentifichi, messa u fundamentu di sta scienza, la tiurìa di prubabilità, u prubabilità di u ballò in u quali l 'studiatu abbastanza extensively.

generazioni

Sè vo pruvate à definisce un tali cuncettu cum'è a tiuria di prubabilità, niàutri pigghiamu la seguenti: chistu è unu di li rami di la matimàtica chi studia l 'Esaudìscimi di evenimenti incerta. Chjaramente, issu cuncettu hà micca ùn palesani u criticu, accussì vi tuccherà à lagnà si in più tecnica.

I vulete accumincianu cu lu funnaturi di la tiuria. Comu minziunatu supra, ci eranu dui, chì Per ferma è Blez pasquale. Iddi èranu li primi tintava cù formuli e calculi matimàticu di calculari lu risultatu di un evenimentu. In generali, u rudiments di sta scienza hè ancu in u medievu. Mentre vari pinzatura e scinziati hannu pruvatu à analizà i ghjochi Casinò cume roulette, Cerca, è cetara è cetara, thereby à stabiliscia un mudellu, è i perdita pircintuali d 'un numeru. U fundamentu fù dinù messa à u XVIIIesimu seculu, era u studiusi aforementioned.

Cumenciu, u so travagliu ùn pudia esse stata attribuita à i grandi successi in stu campu, dopu à tutte e, ciò ch'elli ùn, eranu solu facts, e sperienze impirica era chjaramente senza cù pussibulità. Più tempu, si girò versu accord gran i risultati, chì vede cum'è un risultatu di assirvazzioni di u rugby di l 'ossa. Hè stu strumentu hà aiutatu à purtà a prima fòrmula distinti.

dédié

Micca à sminticà un tali omu comu Christiaan Huygens, in u prucedimentu di studià u sughjettu chì porta u nomu di "quantum prubabilità" (prubabilità di u ballò corsu è in sta scienza). Sta persona hè assai ntirissanti. Iddu, oltri scinziati ca prisintaru, sopra, hè pruvatu à u furmulariu di funzioni matemàtiche à deduce un mudellu di evenimenti incerta. Hè nutevuli ch'ellu ùn sparte lu incù Pascal e Fermat, chì hè tuttu u so travagliu ùn si suvrapponnu cù quelli chì menti. Huygens dirivatu lu cuncetti funnamintali di la tiurìa prubabilità.

Un fattu bellu hè chì u so travagliu fù longu nanzu u risultatu di l'opere di piunieri, per esse esatta, vinti anni nanzu. Ci sò solu à mezu à i cuncetti identificatu èranu:

• comu lu cuncettu di valuri prubabilità casu;
• aspittavanu di lu casu discrete;
• theorems di agghiunta è municipal di probabilities.

Dinù, ùn si pò scurdà Yakoba Bernulli, chì dinù cuntribuitu à u studiu di u prublema. À traversu a so, nè di i quali sò i testi indipendente, era capaci à purtà a prova di a lege di u grande numari. In turnu, scinziati Poisson è Laplace, chì travaglia in u principiu di u XIX seculu, era capaci à pruvà la performance uriginale. Da ddu mumentu à analizà numarosi à l 'assirvazzioni noi cuminciò cù la tiurìa prubabilità. Party intornu à sta scienza pudia micca è Russian scentifichi, piuttostu Markov, Chebyshev è Dyapunov. Iddi sò fundate nantu à u travagliu fattu gran Neruda, fatta in u sughjettu cum'è un ramu di la matimàtica. Avemu travagliatu ste figure à la fini di lu XIX seculu, è grazie à u so cuntribuzione, sò stati pruvati finòmini, comu:

• lege di u grande numari;
• Tiuria di catene Markov;
• The performance limitu cintrali.

So, di la storia di la nascita di scenza è incù u maiò pirsunalità chi cuntribuitu à quessa, tuttu hè di più o di menu chiaru. Avà hè tempu à carne fora tutti li beni.

cuncetti funnamintali

Davanti à voi tuccari li liggi e theorems deve amparà i cuncetti funnamintali di la tiurìa prubabilità. Eventu si occupa nu rolu duminanti. Stu tema hè piuttostu largu, ma ùn sarà capaci di capisce tuttu u restu senza lu.

Eventi in tiuria prubabilità - si Ogni gruppu di outcomes di u sperimentu. Cuncetti di stu fenomenu ùn ci hè abbastanza. Cusì, Lotman scinziatu travagliendu in stu spaziu, hè palesa chì in stu casu, stamu parrannu di chiddu "accadutu, s'è ùn pudia succede."

Eventi Random (tiuria di prubabilità paese spiciali attinzioni a li) - hè un cuncettu chì implica propriu un fenomenu chì i pussibilità di ghjughjenu. , O, à u cuntrariu, issa situazione pò micca succede à u spettaculu di una varietà di e cundizioni. Hè dinù tene sapennu chi occupari l 'internet vulume di u fenomenu maiò evenimenti appena incerta. tiuria prubabilità capiri chi tutti i cundizioni si pò nenti sempri. Hè a so urganizazione finale hè stata chjamata "sperienza" o di "testu".

evenimentu impurtante - issu hè un fenomenu chì hè centu centu in stu testu succede. Pràtica, l 'eventu cchiù possibbili - sta hè qualcosa chì ùn succede.

Cumminari paghje Action (conventionally lu casu di A è casu B) hè un fenomenu chì faci simultaneously. Iddi sò disciplinatu da com'è AB.

U numeru di paghje di evenimenti A è B - C hè, in autri paroli, s'è almenu unu di li vi (A o B), c'arriva un C. A fòrmula finominu discritta hè scritta com'è C = A + B.

sviluppi accurdà à u tiurìa di prubabilità significa ca li dui casi sunnu cumprinzibbili suprana. À u listessu tempu ch'elli sò in ogni casu, ùn pò accade. Eventi Joint in tiuria prubabilità - hè u so antipode. U cunchiùdiri hè chì sì un successu, si ùn preclude C.

Parè u ballò (tiuria di prubabilità li cunsidareghja in dittagli), sò facili à capisce. Hè megliu à guvernà li à paragunà. Ci sò quasi lu stissu sviluppu comu accurdà à u tiurìa di prubabilità. Tuttavia, a so sfarenza hè chì duvia accade una di una pluralità di finòmini in ogni casu.

Spiriri evenimenti - quelli chi facemu, a pussibilità di répétition hè uguali. Pi fari lu chiaru, vi pò pensà tossing un dramma: perdita di una di i so lati hè capaci di gattiva perdita altri.

hè faciuli à guardà u esempiu di sfavuriggiava l 'eventu. Ch'ellu ci hè un episodiu in l 'episodiu A. The prima - un roll of un sine cu l' avventu di un numaru strana, è a seconda - l 'aspettu di u numeru cinque nantu à i dadi. Allora si gira fora chì Un hè V. gràzia

Eventi indipendente in tiuria prubabilità sò pruittata solu nantu à dui o di più occasioni e vennu cuimmurciuti nnipinnenza di ogni azzione da l 'àutri. Per esempiu, A - a perdita tossing vurpi, moneta, è B - jig dostavanie da u ponte. Hanu evenimenti indipendente in tiuria prubabilità. Da stu mumentu, divinni chjaru.

Eventi dipindenti in tiuria prubabilità hè dinù permissible solu per u so gruppu. Iddi mpricari dipindenza di unu nant'à l '' altri, chì hè, u fenomenu pò accade in solu in lu casu quandu A hà digià fattu, o, à u cuntrariu, ùn succede quandu hè - a cundizione maiò di B.

U risultatu di u spirimentu incerta cunzistìa di na sula spinta - qualle evenimenti elementari. tiuria prubabilità dice chì ghjè un fenomenu chi hè fattu solu una volta.

fòrmula funnamintali

Cusì, u sopra stati cunzidiratu lu cuncettu di "casu", "la tiurìa prubabilità", definizione di termini chiavi di sta scienza, fù dinù datu. Avà hè tempu à familiarize stissu cu la funzioni mpurtanti. Sti sprissioni sò mathematically cunfirmatu tutti i principali cuncetti in un sughjettu cusì difficiule cum'è a tiuria di prubabilità. Prubabilità di un evenimentu è ghjoca un rolu di tempurale.

Pensu à principiatu cù i formuli di basi di combinatorics. È davanti à voi li principia, ùn si meriteghja cunsidirari ciò chì ghjè.

Combinatorics - hè principalmente un ramu di a matematica, ch'ellu hè statu u valore un numaru salti di integers, è parechji parmutazioni di tutti i numari è e so 'elementi, in parechji di dati, etc., mener, à un numaru di cumminazzioni ... In più di a tiuria di prubabilità, sta filiera hè impurtanti di l 'Italia statistiche, scienza dî compiuter e blocca.

So avà tu pò terra move nantu à a prisintazioni di elli, è e so funzioni definizione.

U prima di sti hè a spressione di u numeru di i parmutazioni, hè a siguenti:

P_n = Traduction ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = Traduction!

Iquazzioni hè solu in lu casu, si lu 'elementi differ solu in u scopu di situazioni.

Avà u piazzamentu fòrmula, lu friscalettu E comu sta vi pò cunziddirari:

A_n ^ m francese = Traduction ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - f + 1) = Traduction! : (N - m)!

Sta sprissioni hè da appiecà micca solu di u solu elementu di u piazzamentu ordine, ma dinù à u so cumpusizioni.

U terzu equazzioni di combinatorics, è hè quessu, chiamatu la fòrmula di u numeru di cumminazzioni:

C_n ^ m francese = Traduction! : ((N - m))! : M!

Cumminazzioni chiamatu Sampling, chì ùn sò micca urdinatu, rispittivamenti, to è applicata stu duminiu.

Cù i formuli di combinatorics vinni a capiri facili, vi ponu avà vai à a definizione classicu di prubabilità. U friscalettu E comu sta sprissioni sicuenti:

P (A) = m: n.

In sta fòrmula, m - hè u numeru di e cundizioni conducive à u ballò, A, è n - numaru di cunnannari e vasciu tutti i manifistazioni elementari.

Ci sunnu tanti sprissioni in u articulu ùn sarà cunzidiratu qualcosa, ma influinzatu sarà a chiddi cchiù mpurtanti cum'è, per esempiu, u prubabilità di evenimenti n'hà:

P (A + B) = P (A) + P (B) - sta if per annuncià solu evenimenti cumprinzibbili suprana;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - ma issu hè solu per annuncià compatible.

A prubabilità di l 'òpiri di ballò:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - sta JO di evenimenti indipendente;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - e issu di lu dipinnenti.

a lista finì di evenimenti fòrmula. A tiurìa di prubabilità nni nzigna performance Bayes, ca si prisenta comu stu:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (K = 1) ^ Traduction P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., Traduction

In sta fòrmula, H _1, H _2, ..., H _n - hè un gruppu sanu di SCUDISCIASSERO.

At stu riparu, dumanda analise formuli vi avà esse cunsideratu per affari specifichi da a pratica.

esempi

Sè vo studià arechja ogni ramu di matematica, hè ùn hè micca senza esercizi e suluzioni campionu. E la tiuria di prubabilità: eventi, esempii quì sò una cumpunenti integrata di la quali cunfirmava studi scintìfichi.

A fòrmula di u numeru di i parmutazioni

Per esempiu, in un salottu carta hannu trenta drawing, accuminzannu cu chidda francese nominal. Next quistioni. Comu tanti maneri di Tunica lu ponte, tantu ca lu ponnu cù un valore faccia di unu è dui micca stati à fiancu?

U compitu hè stabilitu, avà chì l'spustà nantu à guvernà cù lu. Prima vi tuccherà à definisce u numeru di parmutazioni di trenta elementi, per stu prugettu noi piglià la fòrmula sopra, ùn si P_30 = 30!.

Basatu nantu à stu duminiu, sapemu quantu ozzione ci sò a lasciatu u ponte in parechje manere, ma noi ci vole dedutu da li sò quelli in cui lu primu e lu secùnnu carta sarà dopu. A fari sta cosa accumènza ccu na varianti, quandu u primu hè situatu supra lu secunnu. Si gira fora chì a prima mappa pò piglià vinti-nove lochi - da u prima à u vingt-nonu, e la secunna lingua, da a seconda à i trent'anni, gira vinti nove massimu di paghje di drawing. In turnu, lu 'altri ponu piglià vinti-ottu troni, è in ogni modu. Chì hè, per u rearrangement di u drawing vinti-ottu sò vinti ottu ozzione P_28 = 28!

U risultatu hè chì s'è no guardà i dicisioni, quandu a prima carta è nantu a seconda pussibilità suverchiu arrivare 29 ⋅ 28! = 29!

Cù u listessu lu mètudu, vi tuccherà à calculari lu numaru di ozzione redundant 'di lu casu quandu u prima carta si trova sottu à u sicondu. Also uttinni 29 ⋅ 28! = 29!

Da issu si seguita chì l 'ozzione suverchiu 2 ⋅ 29!, Mentri lu menzu nicissariu di cugghiennu lu ponte 30! - 2 ⋅ 29!. Si ferma solu a calculari.

30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Avà ci tocca à multiplica inseme tutti i numari da unu à vinti-nove, è po à a fine di tutti i multiplicate da 28 A risposta uttinni 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Esempii di suluzioni. A fòrmula di u numeru di cazare

In stu prublemu, ci vole à truvà fora quantu ci sò manere di mette u quindici vulumi nantu à un parastaghju, ma sottu à i cundizioni chì solu trenta volumi.

In stu compitu, i dicisioni un pocu più faciuli cà a prima. Usannu la fòrmula dighjà cunnisciuti, ci hè bisognu di calculari lu numaru tutali di trenta locu quindici volumi.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Risposta, rispittivamenti, sarà uguali à 202 843 204 931 727 360 000.

Avà piglià u compitu un pocu di più difficiule. Vi tocca à sapè quantu ci sò manere di acconcianu i trenta-dui libri nantu à i scaffali, incù u proviso chì solu quindici volumi si stanu nant'à u listessu cuttuni.

Nanzu u principiu di a decisione vulete clarify chì certi di i prublemi si pò solving in parechji modi, è in stu ci sò dui maneri, ma in veni applicata sia unu è lu stissu fòrmula.

In stu compitu, pudete piglià i risposta da l 'unu prima, perchè ci avemu create in u numeru di i tempi vi pò èssiri fora u largu di quindici libri in modu differente. Si girò A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

A seconda reggimentu create da u reshuffle fòrmula, perchè chi serbit quindici libri, mentri u restu di quindici. Avemu aduprà fòrmula P_15 = 15!.

Si gira fora chi la summa sarà A_30 ^ 15 ⋅ P_15 manere, ma, in più, u pruduttu di tutti i numari da trenta a sidici anni si pò multiplicate da u prodottu di u numari da unu à quindici, in fine chì fora u prodottu di tutti i numari da unu à trenta, chì hè a risposta hè di 30!

Ma stu prublemu pò solving in un modu differente - fàcili. Per fà quessa, vi pò pensà chì ci hè una pianura di trenta libri. All di li sò pusatu nant'à stu iocu, ma perchè a cundizione maiò chì ci eranu dui scaffali, una longa noi sawing in mezzu, dui turni quindici. Da issu si gira fora chi per sta situazioni ponu esse P_30 = 30!.

Esempii di suluzioni. A fòrmula di u numeru di cumminazzioni di

Quale hè cunsidarata una varianti di u terzu prublema di combinatorics. Vi tocca à sapè quantu modi ci sò à acconcianu quindici libri nant'à a sola cundizione chì vi tocca à sceglie da trenta esattamente u listessu.

Di l 'dicisioni sarà, di sicuru, di dumandà la fòrmula di u numeru di cumminazzioni. Da lu pattu ca addiventa chjaru chì u scopu di u listessu quindici libri ùn hè micca impurtante. So cumenciu vi tuccherà à truvà fora u numaru tutali di cumminazzioni di trenta quindici libri.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Chì hè tuttu. Cù sta fòrmula, in u tempu shortest pussibili à scioglie un tali prublemu, a risposta, rispittivamenti, uguali a 155.117.520.

Esempii di suluzioni. A definizione classicu di prubabilità

Usannu la fòrmula datu, sopra, unu pò truvà una risposta in un compitu sèmplice. Ma si vi chiaramenti vidiri è seguitate lu cursu di l 'azzioni.

U compitu datu chì in un grecian ci sò deci baddi cumplitamenti listessi. Di sti quattru gialle è sei turchinu. Pigliata da u grecian una palla. Hè necessaria à sapè u prubabilità dostavaniya turchinu.

Di scioglie u prublema hè necessaria à disignau dostavanie evenimentu palla turchinu A. Sta spirienza pò aviri dece outcomes, chi, a sò vota, elementari è capaci di spiriri. À u listessu tempu, sei di i dece sò favurevuli à u ballò, A. Mettez la seguenti fòrmula:

P (A) = 6: 10 = 0.6

Appliunzendu issa formula, avemu amparatu chì a capacità per avè una bola blava hè 0.6.

Solució di l'esempiu. Probabilitate di a summa di l'eventi

Avà esse presentatu una varianti chì hè risoltu utilizendu a formula di probabilità di a summa di l'eventi. Allora, in a cundizione hè datu chì ci sò dui casi, in u primu hè una grisa è cinque bola bianca, è in u sicondu - ottu grisa è quatre bole bianchi. Comu u risultatu, unu di elli era stata tolta da a prima è a siconda casula. Hè necessariu di sapè quale hè l'azzione chì i piloni ricivuti seranu grisgiu è biancu.

Per risolviu sta prublema, hè necessariu di designà avvenimenti.

• Allora, A - hà pigliatu a bola grisa da u prima canistallu: P (A) = 1/6.
• A '- hà pigliatu una bola bianca ancu da u prima canistallu: P (A') = 5/6.
• B - extracted the gray ball from the second box: P (B) = 2/3.
• B '- hà pigliatu una bagnanza grisa da a seconda kaxura: P (B') = 1/3.

A causa di a cundizzioni di u prublema, hè necessariu chì unu di i avvenimenti avìanu: AB 'o A'B. Usendu a formula, avemu: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Avà a formula per a multiplicà a probabilità hè stata utilizata. Appena, per sapè a risposta, avete bisognu di applicà l'equazioni di a so aghjunta:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Cusì, cù a fòrmula, puderete risande di prublemi simili.

U risultatu

L'articulu presentò nant'à u tema "Teorologia di Probabilità", a probabilità d'un avvenimentu in questu un rolu cruciali. Di sicuru, micca tuttu hè statu fattu cunsideratu, ma, basatu in u testu presentatu, pudete teorizamente l'acquaintu di sta secunna di a matematica. Sta zientia pò esse utili nun sulu in pratica prufessionale, ma ancu in a vita di u ghjornu. Cù u so aiutu, pudete calculà a qualunque pussibilità di un successu.

U testu ancu toccu annantu dati significati in a storia di l'emergenza di a teorità di probabilità in quantu a scienza, è i nomi di i persone chì e so opere sò stati investit nel. Hè cusì chì a curiosità umana hà purtatu à u fattu chì a ghjente hà amatu à cuntalli evene avvenimenti aleatorii. Quandu anu interessatu in questu, ma oggi tutti ognunu à sapè. E nimu dicerà ciò chì aspira à noi in u futuru, quale eranu cumpiuti altre ingugigliannu scuperta bè cù a teoria sottu cunsigliata. Ma una cosa hè di sicuru - a ricerca nantu à u puntu ùn valenu!